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Akuan

面白い人間になりたい

Project 1

a

计算苹果股票1980年至今的平均年收益率和年波动率，收益率为 0.1534，波动率为 0.4782 。代码如下：

P1=log(P);  %P是调整后的股票价格，P1是对数价格
R=-diff(P1,1);
aR=252*mean(R);
sigma=sqrt(var(R)*252);

b

用三叉树计算欧式期权的价格，代码如下：

function [C,P]=Etrimi(N)
s0=99.62;
k=100;
sigma=0.4782;
r=0.0185;
T=0.2322;
dt=T/N;

m=1;
u=exp(sigma*sqrt(2*dt));
d=1/u;

pu=((sqrt(exp(r*dt))-sqrt(d))/(sqrt(u)-sqrt(d)))^2;
pd=((sqrt(u)-sqrt(exp(r*dt)))/(sqrt(u)-sqrt(d)))^2;
pm=1-pu-pd;

c=0;
p=0;
for i =0:N
    for j=0:N-i
        s=s0*u^i*d^j;
        c=c+max((s-k),0)*pu^i*nchoosek(N,i)*pd^j*nchoosek(N-i,j)*pm^(N-i-j);
        p=p+max(-(s-k),0)*pu^i*nchoosek(N,i)*pd^j*nchoosek(N-i,j)*pm^(N-i-j);
    end
end

C=c*exp(-r*T);
P=p*exp(-r*T);

c

image

精确度：由上表可知，三叉树在N=40的时候，得到的结果与bls公式的结果相比，误差仅为0.01左右。
效率：通过多次运行程序，观察得，当N小于100时，运行效率较高；N大于100时，程序效率明显下降。

d

image

精确度：由上表可知，在N较小的情况下，三叉树的精确度更高，但随着N的增大，两者精确度变得很接近。
效率：当N较小的时候，运行时间二叉树与三叉树的差距不大；但N大于100时，二叉树快许多。

e

期权（看涨）的市场价格为4.50，而程序运行结果为9.16左右。同时B-S公式计算价格也与三叉树计算价格相近，而这两种方式计算的都是期权的真实价值，并不是计算的整个路径。市场期权价格在任一时刻是随机的，但最终期权的市场价值会回归真实价值。 对于如何提升价格的准确性，一、标的资产市场价格可能不服从对数正态分布，为了针对尖峰厚尾性，很多文献中采用的是Beta分布；
二、该三叉树模型基于二叉树模型，模型的不准确性可能是由于u、d设置的不合理导致的。

f

三叉树计算美式期权，代码如下：

function [C,P]=AmericanTT(N)
S0=100;
K=100;
r=0.05;
T=1;
sigma=0.3;
dt=T/N;
u=exp(sigma*sqrt(2*dt));
m=1;
d=1/u;

p1=((exp(0.5*r*dt)-d^0.5)/(u^0.5-d^0.5))^2;
p3=((u^0.5-exp(0.5*r*dt))/(u^0.5-d^0.5))^2;
p2=1-p1-p3;

S=[];
S(1,1)=S0;
INCOME_C=[];
INCOME_C(1,1)=0;
INCOME_P=[];
INCOME_P(1,1)=0;

for i=2:N+1
    for j=0:i-1
        for t=0:i-j-1
            S(i,2*t+j+1)=S0*d^t*m^j*u^(i-1-t-j);
            INCOME_C(i,2*t+j+1)=max(S(i,2*t+j+1)-K,0);
            INCOME_P(i,2*t+j+1)=max(K-S(i,2*t+j+1),0);
        end
    end
end

F_C=[];
F_P=[];

F_C(N+1,:)=INCOME_C(N+1,:);
F_P(N+1,:)=INCOME_C(N+1,:);

for i=N:(-1):1
    for j=1:2*(i-1)+1
        F_C(i,j)=(p1*F_C(i+1,j)+p2*F_C(i+1,j+1)+p3*F_C(i+1,j+2))*exp(-r*dt);
        F_C(i,j)=max(F_C(i,j),INCOME_C(i,j));
        F_P(i,j)=(p1*F_P(i+1,j)+p2*F_P(i+1,j+1)+p3*F_P(i+1,j+2))*exp(-r*dt);
        F_P(i,j)=max(F_P(i,j),INCOME_P(i,j));
    end
end

C=F_C(1,1);
P=F_P(1,1);

g

用二叉树计算障碍期权，代码如下：

function [C,P]=barrier(B,N)
s0=100;
k=100;
sigma=0.4;
r=0.05;
T=1;
dt=T/N;

u=exp(sigma*sqrt(dt));
d=1/u;

pu=(exp(r*dt)-d)/(u-d);
pd=(u-exp(r*dt))/(u-d);

m=ceil(log(B/s0)/log(u));

c=[];
p=[];
s=[];
A=[];
s(1)=s0*u^N;
c(1)=max(s(1)-k,0)*pu^N;
A(1)=1;
for i =2:N+1
    s(i)=s0*d^(i-1)*u^(N-i+1);
    U=[];
    for j=1:i
        U(j)=N+2-i-j;
        if j>=2
            for t=1:j-1
                if U(t)>=m && U(t+1)<m
                    if N+2-i-j>=0
                        A(i)=nchoosek(N+2-i-j+t-1,t-1);
                        break
                    else
                        A(i)=0;
                    end
                else
                    A(i)=nchoosek(N,N+1-i);
                end
            end
        else
            A(i)=0;
        end
    end
    c(i)=max((s(i)-k),0)*pu^(N+1-i)*A(i)*pd^(i-1);
    p(i)=max(-(s(i)-k),0)*pu^(N+1-i)*A(i)*pd^(i-1);
end

C=sum(c)*exp(-r*T);
P=sum(p)*exp(-r*T);